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This is Math's Fatal Flaw

蠻多老生常談的數學理論，不過論述得很有條理、容易理解。

Life-game 比「無限」更大的「無限」 哥德爾不完備定理 理髮師悖論 自我指涉 停機問題 圖靈機 數學 公理 純邏輯

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Gödel's Incompleteness Theorem - Numberphile

【歌德爾不完備定理】不完備的數學 - Gödel's Incompleteness Theorem cu...

「若其不能被證明，則必為真。」
(因為若為假，則必存在其為假之證明。
天呀我的頭好痛

Numberphile

這好像是公理系統的天生限制？因為「假」的定義在公理系統就是跟基礎的公理之一有所牴觸，所以必定可以寫出其證明。

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Gõdel, L'Hôpital, and Bernoulli walk into a bar. Gödel looks around and says, "This joke might be funny, but we can't tell because we're in it." //

靠腰www

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It is so lucky that the godel's imcompleteness theorem has a proof. What if it is true that some truths could not be proved and this theorem is one of them itself... //

yeah, same feeling.

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As a programmer, self referencing is both blessing and a curse. //

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With great power comes great responsibility //

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This is what happens when you keep answering your child when he asks, "Why?" //

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start teaching your child set theory //

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"Ok Timmy, what's 1+1?"
"Well, first we have to talk about parallel universes" //

Life in life

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The best / most terrifying part is that in theory, this can keep going//

參

玩家在《Minecraft》遊戲內打造《Minecraft》遊戲電腦來玩《Minecraft》

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If you're confused by the pretty moving dots, and are curious what they mean, there's a new documentary out which explains what's going on here:

Let’s BUILD a COMPUTER in CONWAY's GAME of LIFE ⠠⠵

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"everything is simple, until you think about it" //

memo 劍理

參

@Nick0656 - 簡單的深夜 #閒聊 。 (大概會忙碌一下、沒空上噗，打算先寫個怕忘記。 關於「形...

參

@Nick0656 - //任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中不能被證...

//...第一定理可以被解釋為：「不存在一個萬能的公理系統，使得其既能夠證明一切數學真理，又能證偽任何謬誤。」//

凡事都有例外，連這件事也不例外 不存在萬解法

@Nick0656 - 不需要 (輕笑 機器學習只要挑能涵蓋有限但最廣範圍的就好，這依然能遠遠勝過人類。...

//公理系統可能含有無窮條公理（例如皮亞諾算術就是這樣），但要哥德爾定理生效，必須存在檢定證明是否正確的有效演算法。例如，可以將關於自然數的所有在標準模型中為真的一階語句組成一個集合。這個公理系統是完備的；哥德爾定理之所以無效，是因為不存在決定任何一條語句是否正確的有效演算法。從另一方面說，這個演算法的不存在正是哥德爾定理的直接結果。

另一個哥德爾定理不適用的特殊情況是：將關於自然數的所有語句首先按長度然後按字典順序排序，並從皮亞諾公理集開始，一個一個遍歷列表，如果發現一條語句既不能證明又不能否證，就將它作為公理加入。這樣得到的系統是完備的，相容的，並且是足夠強大的，但不是遞迴可列舉的。 //

把所有無法處理的東西都扔到「其他」這一項，那麼剩下的都是可以處理的了！(X

//羅傑·彭羅斯聲稱「可被機械地證明的」和「對人類來說看起來是真的」的這一區別，表明了人類智慧型在本質上不同於機械過程。這一觀點未被普遍接受，因為正如馬文·閔斯基所指出的，人類智慧型有犯錯誤和理解不相容和謬誤句子的能力。

但馬文·閔斯基透露說庫爾特·哥德爾私下告訴他，他相信人類有一種到達真理的直覺方法，但因為跟電腦式的方法不同，人類可以知道為真的事情並不受他的定理限制。[2] //

直覺 「理性」

//對以上認為該定理揭示了人類具有超出形式邏輯之能力的這種觀點，也可以作如下評論：p無法被證明，也無法被證偽，因為無法知道系統是否是相容的。因此實際上我們並不知道系統之外的任何真理。我們所確知的只有這樣一個命題：

要麼𝑝在系統內部無法證明，要麼該系統是不相容的。

這樣的命題之前已經在系統內部被證明。實際上，這樣的證明可以如下給出。 //

若世界是相容的，若世界是完美的，則它一定包含那些無法被證明的事物，包含那些我們無法控制的事物。

未知與自由