書 讀嘛讀嘛

《人生的局，機率有解》傑佛瑞.羅森薩爾（Jeffrey S. Rosenthal）

「在十分鐘的車程中，發生車禍的機率極低，那我們要繫安全帶嗎？我的答案是：要，我永遠都會繫上安全帶（騎腳踏車也會戴安全帽），但不是因為法律規定我要這麼做。」

「在你的人生中，你可能有很多次騎乘汽車和自行車的機會。在這麼多趟旅程中遭遇事故的機率（不一定會致命），不可小覷，忽略不計並不安全。一、兩次忘了繫安全帶不是大事，但從來不繫是自找麻煩。」

我騎腳踏車都沒在戴安全帽

「假設你丟一顆骰子丟四次，那麼，丟四次裡面至少出現一次3點的機率是多少？」

「很多人會以為答案一定是六分之四，換算下來是67%。他們的理由是，丟了四次骰子之後，得到3點的機率一定是丟一次時的四倍，但不可能是這樣。按照這個邏輯，如果你丟一顆骰子六次，那至少丟出一次3點的機率就是六分之六，也就是100%了，我們都知道那並不成立（就算你丟了六次，也不保證你一定會丟出一個3點）。」

「這套理據的問題和重複計算有關。如果你丟四次骰子，每次都丟出3點，上述算法等於把每一個得到3點的六分之一機率加四次，但其實應該只把這種情況算成一次。」

「以下是計算丟一個骰子四次、至少出現一次3點的機率的正確算法。每一次擲骰子時，丟出的點數不是3點的機率為六分之五。因此，丟四次骰子，四次都沒有丟出3點的機率為複製四次六分之五，相乘起來，得出的答案為48.2%。這也就是說，至少得到一次3點的機率等於100%減去48.2%，答案是51.8%。這只比50%高了一點點，遠遠低於很多人想的67%。」

【效用函數】

「假設你正忙著籌畫婚禮，你需要選定會場。你把選擇限縮成兩項：市內豪華的宴會廳，以及林間樸實的鄉村小屋。小屋的話，有搖曳的樹木和閃耀的湖面，環境很優美，但有一個問題：如果你舉行婚禮當天下雨，那該怎麼辦？」

「要解決這個難題，你可以設一套效用函數。晴天時，鄉村小屋婚禮會讓人歡欣幸福，你給的效用值是正1,000。在宴會廳舉辦婚禮（不論晴雨）也很不錯，但不是同一個層次，你給的效用值是正800。」

「然而，雨天時鄉村小屋婚禮就會變成一團糟：賓客全部擠在室內、鞋子滿是泥濘、屋頂漏水、家人之間頻起口角，一片美景完全都浪費了。當然，你的婚姻還是會很幸福，但那場婚禮根本就是災難，效用值為零。還有，根據過去的天氣模式，你預估婚禮當天下雨的機率為25%。」

「現在，你的選項變成可以帶來實實在在的正800效用值的宴會廳，還是晴天時效用值為正1,000、雨天時效用值為零的有風險鄉村小屋？你要選什麼？」

「此時此刻，你可以開始計算。鄉村小屋有75%的機率效用價值為正1,000、有25%的機率為零。這表示，如果你選鄉村小屋的話，效用函數的平均值（或期望值）為：75%是正1,000、25%是零，結果是正750。因此，選了鄉村小屋，你的平均效用值為正750。但如果你選宴會廳，不管天氣怎麼樣，你的效用值都是正800。」

鄉村小屋：75% x 1000 + 25% x 0 = 750
宴會廳：75% x 800 + 25% x 800 = 800

「正800高於正750，因此，選宴會廳會比選鄉村小屋好。因此，你（不情不願）的選擇應該是預訂宴會廳。這樣一來，不管下不下雨，你的婚禮都會很成功。」「效用函數運用理性且合乎邏輯的思維，幫助你做出難以決定的情緒面抉擇。」

【陪審員的挑選】

「很多地方會隨機選定成年公民，請他們來履行陪審責任。這些人執行義務之後，幾年內不會再被徵召。為何不能永遠免除他們的義務，或者，至少等每個人都輪過一次之後才徵召他們？

答案是，這樣的規則會引發偏誤，陪審員人選會慢慢導向還不曾履行義務的少數公民身上，這一群多半是年輕人和新移民。而當權者認為，這種陪審團並不足以代表整體人民。正因如此，才沒有制定永久排除的規定，也因此，有些人會擔任陪審員三、四次，有些人一次也沒有。看起來不公平，但至少可以避開偏誤。」

「假設有一個號稱快手查理的狡猾行家大聲么喝：『嘿，先生，往前一步，來玩三張紙牌大驚奇。』你小心翼翼往前靠過去，他繼續說了：『看好這三張牌了，有一張是兩面都紅色，有一張是兩面都黑色，有一張是一面黑色一面紅色，對吧？』你同意，於是他接著說下去：『現在，把這三張牌丟進這個大袋子裡，混一混。隨便挑一張，把紙牌平放在桌上，哪一面向上都可以。』」

「你遲疑了一下，伸手攪了攪袋子裡的紙牌，抽出一張，默默地放在他前面。你看到的這一面是亮紅色。『這一面是紅色，對吧？』查理說，『我猜你沒拿到兩面都是黑色的紙牌，沒錯吧？你拿到的要不然就是兩面都紅的，要不然就是一黑一紅的牌。而另一面是黑色或是紅色的機率，一定是一半一半，是吧？』」

「如果你選的是兩面都是紅色的紙牌，那麼，隨機選出的那一面一定也會是紅色的。如果你選的是一面黑一面紅的紙牌，那麼，隨機選出的那一面只有一半的機率會是紅色的。由於兩面都是紅色的紙牌出現紅色那一面的機率，要比一紅一黑的紙牌高，那麼，現在你選中兩面都是紅色的紙牌的機率，就變成二比一，這麼一來，這張另一邊是紅色的機率就是三分之二。」

「『抱歉，查理。』你回答，『這個機率不是一半一半，另一邊是紅色的機率是三分之二。』為了解釋你的論點，你翻開了紙牌，揭曉背面也是紅色。」

「在這場遊戲的一開始，你有三分之一的機會，抽到一面紅一面黑的紙牌。看到一面是紅色改變了很多事，但是前述的機率不會變。無論你看到什麼顏色，你選中一面紅一面黑那張牌的機率都是三分之一。因此，這張牌另一面是黑色的機率是三分之一，另一面是紅色的機率是三分之二。」

「你選到的是紅色，那麼，這一定是三面紅色當中的其中一面，而這三面出現的機率都一樣。在這三面紅色當中，有兩張背面也是紅色（就是兩面都是紅色的那一張牌），裡面只有一張背面是黑色（就是一面紅一面黑那一張）。因此，有三分之二的機率，背面也是紅的。」

選到紅色的兩種情況（排除兩面都黑色那張）：

背面紅色的機率都是2/3。


end

覺得機率滿有趣的，但常常腦筋轉不過來要想很久