書 讀嘛讀嘛

《統計的假象》蓋瑞.史密斯

假陽性問題

「95%的大麻檢測準確率，意味在使用大麻的人之中，95%的人會檢測出陽性。那麼，問題來了：在檢測出陽性的人之中，大麻使用者的比例是多少？」

用了大麻會測出陽性，測出陽性不就是用了大麻嗎？準確率有95%這麼高，就算有人被測出假陽性，也應該很少人吧？

假設一項針對一萬名員工的大麻檢測，其中有5%的人用了大麻（500人），另外95%的人沒用大麻（9500人）。


先看用了大麻的500人的檢測結果：475人陽性，25人陰性。
雖然有25人明明用了大麻，卻沒被抓出來，不過答對了475人，符合95%的準確率！

再看看沒用大麻的9500人的檢測結果：475人陽性，9025人陰性。
雖然有475人根本沒用大麻，卻被測出是陽性，不過還是答對了9025人，符合95%的準確率！

總共有950人拿到了陽性結果，但其中有一半的人是假陽性

假陽性問題也存在於疾病檢測之中，以乳房X光檢查為例，假設在一次例行檢查中，醫生在一位女性的乳房上發現一個腫塊：

「如果腫塊是惡性的，那麼X光檢查將其判斷為惡性的機率是0.8」
「如果腫塊是良性的，那麼X光檢查將其判斷為良性的機率是0.9」

經過X光檢查後，這位女性的腫塊是惡性的。「根據這個X光檢查結果，你認為這個腫塊是惡性腫塊的機率是多少？」

這個表是X光檢查了一千名患者的情況：

檢查10個惡性腫塊的結果是：8個陽性，2個陰性。
哎呀，搞錯了兩個，不過答對8個，符合0.8的準確率！

接著檢查990個良性腫塊，結果是：99個陽性，891個陰性。
有99個人要虛驚一場了，不過答對891個，符合0.9的準確率！

總共有107個人拿到了陽性結果，但其中只有8個人是真的惡性腫塊，機率是 8/107 = 0.075。

覺得雖然理解是可以理解，但實在太反直覺了，還是很難理解 （供蝦毀

作者說這個題目被拿去問了100位醫生，95位醫生都回答惡性腫塊的機率是0.75左右，錯估了十倍！醫生的答案跟我亂猜的答案差不多，太令人不安了

「當檢測數量很多時，假陽性是不可避免的。」
「隨著檢測數量變多，假陽性的機率將接近百分之百。」
「一項檢測很有可能顯示陽性結果，但陽性檢測結果並不能認定疾病的存在。」

在另一本書《數盲、詐騙與偽科學》看到的假陽性問題：
「市中心有人被搶了，他說搶匪是黑人男子。但，當調查此案的法庭，在差不多照明環境下，多次重現場景時，受害者約只有80%的時間，能正確分辨出攻擊者的族裔。如此一來，這名搶匪確實是黑人的機率多高？」

「我們假設，母體中約90%是白人，僅10%是黑人，本案的市中心地區也符合前述的族裔組成。而且，每個族裔可能會去搶劫別人的機率都一樣，受害者把白人誤認成黑人，或把黑人誤認成白人的機率也一樣。」

「在這些前提條件下發生的100件搶劫案中，平均來說，受害者會指認攻擊者是黑人的有26件。而真正是黑人所為的案子有10件，受害者可以正確辨識出來的機率是80%，那就有8個人；另外90件是白人所為，受害者誤認兇手是黑人的機率為20%。

因此，既然在這26件、受害者指稱是黑人所為的搶案裡，只有8件確實犯人是黑人，在受害者說他被黑人搶劫的前提之下，犯人真的是黑人的機率僅有8/26，換算下來將近31%！」

整理成表格：

真正犯人是黑人，也正確辨識為黑人的機率為 8/26 *100% = 31%
但是，明明是白人犯人，卻誤認為黑人（假陽性）的機率為18/26 *100% = 69%

假陽性的機率比正確率還高兩倍