想請問有關高中數學-多項式運算與應用的問題，下收題目

請問為什麼多項式的等式可以同乘、加、減，但不能同除呢？

同除以會有除以0的可能吧

ginger1905: yes

除非能證明除式的多項式不等於零，否則需考慮為零的情況。若除式為零則該多項不能為除式，即多項式的等式不能同除公因式。

你應該知道的觀念但不知道你人生也沒影響：「多項式」與「多項式函數」並不相同
多項式如果涉及除法，主要的問題來自於無法整除。
在高中階段，學生應該知道的是多項式除以多項式未必會等於多項式，可能會有餘式產生。
所以回到你的附圖，(x^2+x+1)Q(x)/ (x+1)你不能保證會是什麼，「一個多項式」或是「一個商式」加「一個餘式」。
然後後面的 (5x+3)/(x+1)，你也無法直接往下續寫，會需要改寫成
(5x+3)=(x+1)*5 + (-2) or
(5x+3)/(x+1) = 5 + (-2)/(x+1)
不論哪種寫法，都無法幫助你解題

當碰當題目有抽象的概念時，我通通推薦直接找例子，一步一步走，看問題發生在哪。
Let f(x) = (x^2 - 4),
then (x+1)f(x) = (x^2+x+1)x + (-5x -4)
(x^2 - 4) = f(x)
= (x^2+x+1) * [x/(x+1) ] + [(-5x-4)/(x+1)]
所以如果寫成除法，就會出現上面式子裡中刮號的除不盡的形式，會需要通分，但原題目你無法知道 Q(x)的形式，所以也無法通分。
所以我們才會採取用乘法，來避免這種情況發生
（除法是一個需要很小心的運算符號，一不小心就會出包）

回到被我用線劃掉的觀念
如果考慮 「多項式 」本身，只要能確保加、減、乘、除之後還是多項式，運算都是合法的。
e.g. let p(x) = (x+1)(x+2) , q(x)=(x+1) 分別為兩個多項式，
then p(x)/q(x) = (x+2) 則可以直接寫， 不用管分母是否有機會為零，因為 多項式本身就跟代值無關
但如果，考慮的是「多項式函數」，那就會和上面的旅人說的一樣，需要考慮分母的變數是否帶數字後有機會為零，所以上面的例子如果假設 p(x)、q(x) 為函數，定義域為整條實數線，
then p(x)/q(x) = (x+1)(x+2)/(x+2)就為答案，其中 (x+2)就消，應為 p(x)/q(x）在 x = -2時沒有定義 ，所以如果寫成p(x)/q(x) =x+1就不對。

忽然覺得我好棒，打了好多字
不過在高中階段，我通通建議直接背下解題手法（學生時期我的做法）