[硬科普][數學][幾何][空間][維度][正多邊形/體]

Perfect Shapes in Higher Dimensions - Numberphile

感覺很厲害就扎扎實實邊查單字邊看，足足花了影片好幾倍的時間才看完+寫完筆記......

呱呱

(內容摘要)有一部分是早上出門前看的，記憶可能有點斷掉了。
在二維中，正多邊形的數量是無限，在三維中，只有正多面體(柏拉圖立體)只有5個。其原因跟角度有關，當二維圖形要摺疊成三維時，它的平面(?)角度必須小於360度(一個平面)，因此3、4、5個正三角形都可以折成一個正多面體，但是6個正三角形卻已填滿整個平面，7個正三角形更是"多"了出來。並由此去看正方形、正五邊形最多能組出幾個，最終便是正四面體(三角形)、正六面體(正方形)、正八面體(三角形)、正十二面體(五邊形)、正二十面體(三角形)。老教授補充了一個茶壺，稱之為第六個柏拉圖立體，不過好像跟繪圖軟體還是建模軟體有關，這點我不太懂。

四維空間的立方體由三維空間的立方體折成，但這些立方體並沒有"重疊"，經由不同角度的投影所做出來的模型，可以發現某些面看起來不像它原先該有的形狀（它看起來是平面，但它應該是個立體），應該可以說是我們視覺化造成的擠壓，因為我們只能想像最多三維的圖形；垂直透視投影的立方體卻比較小，但實際上它們都是一樣大的。將三維摺疊成四維，同理於二維摺疊成三維，只要它沒有"填滿"或超出空間(角度)，就可以成型，而這有6種。更高維度也是如此折疊，但它們最終都只能摺出三個：simplex系列、measure polytopes系列，以及兩者的結合dual。dual的每個點都對應到一個面，每個面也對應到一個點，不過這個立體是怎麼摺出來的已經超出三維想像ㄌ

倘若我們是生活在四維空間，那我們應當想像我們是生活在11:50那個擁有120個正方體的空間，一個超立方體之中；如果宇宙實際上有更多維度，嗯，那就更有趣了